समाकलन intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ln(1 + 2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,जिससे $dx

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$\frac{\pi}{16} \ln 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,जिससे $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तब $	heta = 0$. जब $x = 1/2$,तब $	heta = \pi/4$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,व्यंजक सरल हो जाता है:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) d	heta$$	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + 	an 	heta + 1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [	heta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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